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Lie-Gruppe | ||||||||||||||||||||||||||
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| Lie-Gruppe |
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berührt die Spezialgebiete |
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ist Spezialfall von |
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umfasst als Spezialfälle |
Eine Lie-Gruppe, benannt nach Sophus Lie, ist eine mathematische Struktur, die insbesondere in der Analysis, Geometrie und Physik zur Beschreibung von Symmetrien benutzt wird.
Lie-Gruppen und Lie-Algebren wurden um 1870 von Sophus Lie zur Behandlung von Symmetrien in Differentialgleichungen eingeführt; unabhängig von Lie entwickelte Wilhelm Killing ähnliche Ideen zu dem Studium nicht-Euklidischer Geometrien.
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Eine Lie-Gruppe ist eine analytische reelle oder komplexe Mannigfaltigkeit, die zusätzlich die Struktur einer cf4792960beac45a8d6abc6fe093e Tausend besitzt. Damit die Struktur der Mannigfaltigkeit und die der Gruppe miteinander verträglich sind, müssen die Gruppenverknüpfung und deren Umkehrung analytische Funktionen sein.
Ein Homomorphismus von Lie-Gruppen H, G ist ein Gruppen-Homomorphismus f: H→G, der zugleich eine analytische Abbildung ist. Man kann zeigen, dass dafür genügt, dass f stetig ist. Ein Isomorphismus von Lie-Gruppen ist ein bijektiver Lie-Gruppen-Homomorphismus. Isomorphe Lie-Gruppen werden für alle praktischen Zwecke als gleich betrachtet. Buch-Tipp: Die Weisheit der Vielen. Warum Gruppen klüger sind als Einzelne Lesenswert, aber der Spannungsbogen hat einen Knick. . . :-) Die Tatsache, dass Gruppen unter bestimmten Umständen bessere Ergebnisse liefern können als einzelne, teilweise sogar bessere als das beste Mitglied der Gruppe, ist schon interessant, und deshalb ist das Buch auch lesenswert.
Allerdings reicht diese eine Wahrheit nicht aus, um damit 343... |
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Der Euklidische Raum Rn mit der Vektoraddition als Gruppenoperation ist eine einigermaßen triviale reelle Lie-Gruppe. Interessantere und typischere Beispiel sind die Gruppen invertierbarer Matrizen mit der Matrixmultiplikation als Verknüpfung sowie deren Untergruppen, zu dem Beispiel die Gruppe SO(3) aller Drehungen in dem dreidimensionalen Raum. Buch-Tipp: Groupes et algebres de Lie. Chapitres 2-3. Chapitres 2 et 3: Chapitres 2 ET 3 Das Buch "Groupes et algebres de Lie. Chapitres 2-3. Chapitres 2 et 3: Chapitres 2 ET 3" ist leider ohne Beschreibung. Klicken Sie auf den Link über diesem Text um zu der Seite des Buchhändlers zu gelangen. Beim Klicken ö ffnet sich automatich ein neues Fenster mit dem Entsprechenden Buch. |
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Man kann Lie-Gruppen nach ihren Gruppen- Merkmale klassifizieren: einfach, halbeinfach , auflösbar, nilpotent , abelsch (siehe auch Gruppentheorie-Glossar). Jede Lie-Gruppe ist eine topologische Gruppe. Somit besitzt eine Lie-Gruppe auch eine topologische Struktur und kann nach topologischen Attributen klassifiziert werden: zusammenhängend, einfach-zusammenhängend, kompakt.
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· Letzte Counteraktualisierung erfolgte am 16.05.2008 um 17:52:31
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· Letzte Portalaktualisierung erfolgte um 08:00:00 GMT, 25.02.2008